MATEMATIKA

A matematika, tárgyát és módszereit tekintve, sajátos tudomány, mely részben a többi tudomány által vizsgált, részben pedig a matematika "belső" fejlődéséből adódóan létrejött (felfedezett, ill. feltalált) rendszereket, struktúrákat, azok absztrakt, közösen meglévő tulajdonságait vizsgálja.

Régebben a "mennyiség és a tér tudományaként" (vagyis a számok és geometriai alakzatok tanaként) határozták meg, a múlt század elejétől kezdve pedig a matematikáról azt tartották, hogy az "a halmazelmélet absztrakt struktúráinak formális logikai szemlélettel és a javarészt erre épülő matematikai jelölésrendszerrel való vizsgálata".

Ma már nemcsak az első, hanem a második álláspontot is vitathatónak, túlhaladottnak tartják mind egyes tudományfilozófiai, mind egyes didaktikai áramlatok képviselői.[1]A matematikát nehéz pontosan meghatározni, mibenlétének kérdése még manapság is, sőt manapság különösen, vita tárgya, élő és nem lezárt tudományos probléma, mellyel a matematikafilozófia (a filozófia egyik területe, sőt már-már önálló tudományága) foglalkozik. Amíg a matematikába sorolt tevékenységekről, módszerekről és fogalmakról (vagyis mi az, ami a matematika körébe tartozik, és mi az, ami nem) ha nem is teljes, de nagy fokú és vitákat alig-alig kiváltó egyetértés alakult ki, addig a matematika által tanulmányozott fogalmak lételméleti helyzetéről, ismeretelméleti megközelítéséről, magának a matematikának mint tevékenységnek a jellegéről, sőt céljáról ("keményvonalas" természet- vagy pedig "szoft" társadalomtudomány, esetleg művészet; empirikus vagy inkább normatív, stb.) a legkülönfélébb releváns elképzelések léteznek egymással párhuzamosan.

Ezért a következőkben megpróbáljuk ehelyett néhány fontos, megkülönböztető sajátosságát kiemelni, melyek egyike-másika más tudományokban is megtalálható, de így együtt az összes csak a matematikában.[2] A matematika sajátossága elsősorban különleges témaválasztásában, kutatási területeiben és módszereiben, nyelv-és jelölésrendszerében rejlik.

Geometria

A geometria a matematika térbeli törvényszerűségek, összefüggések leírásából kialakult ága (maga a geometria szó görögül eredetileg földmérést jelentett). Fő ágai: a projektív, az ábrázoló, az analitikus, és a differenciálgeometria, minden ágon tárgyalható az euklideszi, ill. nemeuklideszi geometriák szemlélete szerint. (Nem a geometriához, hanem a kombinatorikához szokás sorolni a véges geometriák elméletét.)

Analízis és topológia

Mandelbrot-halmaz, tengelyekkel ábrázolva

A (függvény)analízis a matematika kulcsfontosságú, és az egyik leginkább alkalmazásközeli részterülete, amely a mennyiségi változások matematikai leírásából fejlődött ki. Főbb fogalmai: mérték, differenciálhányados, integrál. Főbb ágai: valós, komplex, funkcionál-, Fourier-, és numerikus analízis. A topológia nagyon szoros kapcsolatban van az analízissel, főbb ágai: leíró, kombinatorikus, és általános topológia). A dinamikai rendszerek elmélete az analízis és a topológia sajátos határterülete.

Véges vagy diszkrét matematika

Egy pontatlan, de valamiféle összegzést mégis nyújtó kép szerint ide főleg a matematika azon területei tartoznak, melyek művelése derivált- és integráloperátor, egyszóval "folytonos", analitikus módszerek nélkül is kielégítően lehetséges, a véges és/vagy nem-folytonos struktúrák tanulmányozása. Főbb ágai: Kombinatorika(gráfelmélet, véges és diszkrét geometriák, halmazrendszerek (hipergráfok) elmélete), játékelmélet, kombinatorikus számelmélet. Sokan ide sorolják a számítógép-tudományt is.

Valószínűségszámítás

A valószínűségszámítás olyan jelenségekkel foglalkozik, amelyek lényegében azonos körülmények között tetszőlegesen sokszor megismételhetők, de kimenetelüket a rögzített lényeges tényezőkön kívül sok más tényező is befolyásolja. Fogalmai, módszerei alapján az analízis alágaként is besorolható.

Számítógép-tudomány

A számítógép-tudomány vagy számítástudomány (computer science) a matematika egyik igen fiatal tudományága, amely az információfeldolgozó gépek (például számítógépek) tervezésének és működtetésének elméleti, matematikai alapjaival foglalkozik. Némileg elnagyoltan az algoritmusok általános elméletének is nevezhető.

Sok lehetséges al-ága még nem differenciálódott eléggé ahhoz, hogy egy általánosan elfogadottnak tekinthető felosztást kielégítő biztonsággal meg lehessen állapítani. Főbb területek és fogalmak: algoritmusok, nyelvek, absztrakt automaták, számítási bonyolultságelmélet, kommunikációs bonyolultságelmélet.